Speciální teorie relativity

Tue 10 December 2013
tastyfish
tagy: physics
překlady: en (google)

Jakožto informatik nemám bohužel/bohudík k matematice, potažmo fyzice, tak daleko, jak by většina šťastných smrtelníků považovala za zdravé, a to i přes veškerou duševní chabost, kterou na sobě každodenně pozoruji. Každopádně jsem se nemohl vyhnout dni, kdy mě snad slabost či jiná pohnutka donutila přemýšlet o speciální relativitě tak, že mi nedala spát. Nakonec jsem naštěstí došel k určitému povrchnímu pochopení, díky kterému můžu zase spát s klidem a o toto pochopení se s vámi nyní zde chci podělit.

Pokusím se o popis toho, jak jsem speciální relativitu amatérsky rozpitval - jednak pro podobné nadšence jako jsem sám a jednak sám pro sebe, až to opět úspěšně zapomenu. ^^ Mějte prosím na paměti, že nejsem matematik ani fyzik, ale jen nebohá bytost postižená zvědavostí. Nemůžu samozřejmě postihnout všechno, což by zde na tak malém prostoru nešlo, ani kdybych to dokázal. Mou snahou je pouze načrtnout, jak revoluční teorie relativity byla pro fyziku a jak pochopit její podstatu, nikoliv každý detail. Vše bude, až na E = mc^2^, bez vzorců (ty se učí na střední škole a dají se vygooglit!) a co nejvíc jednoduše. Doufám, že se mi to podaří, neboť jak řekl sám Einstein: "Pokud něco nedokážete vysvětlit jednoduše, nerozumíte tomu dostatečně."

O čem to celé je

Bylo by asi dobré objasnit pojmy, s nimiž budeme pracovat. Nejdůležitějším pojmem je nejspíš vztažná soustava (učí se o nich v prvním ročníku střední školy). Jedná se o soustavu souřadnic "napevno spojenou" s nějakým pozorovatelem. Jako příklad uveďme dva lidi - jeden jede ve vlaku, který projíždí nádražím. Druhý sedí na lavičce na nádraží, čte si noviny a nedočkavě čeká na vlak, přičemž důležité je jen to, že sedí nehybně na nádraží. V tomto případě máme dvě vztažné soustavy - jedna spojená s vlakem a druhá s nádražím. O obou těchto lidech budeme hovořit jako o tzv. pozorovatelích. Pokud mluvíme o rozdílných pozorovatelích, máme na mysli pozorovatele v rozdílných, tzn. vzájemně vůči sobě se pohybujících, vztažných soustavách.

Speciální teorie relativity hovoří pouze o tzv. inerciálních vztažných soustavách, což jsou soustavy, které nezrychlují ani nezpomalují (proto má název speciální - zkoumá jen tento speciální případ). Náš vlak tedy jede určitou rychlostí, která se nemění a nádraží není pod vlivem žádného zemětřesení, tudíž zůstává naprosto nehybné. V takovém případě se lidem (pozorovatelům) v jedné vztažné soustavě (ve vlaku) zdá, že jsou v klidu a že druhá vztažná soustava (nádraží) se pohybuje. Lidem (pozorovatelům) ve druhé vztažné soustavě (na nádraží) se naopak zdá, že oni jsou v klidu a ti druzí (ve vlaku) jsou v pohybu. Teorie relativity mimo jiné říká, že nelze dát za pravdu ani lidem ve vlaku ani na nádraží - kdo se ve skutečnosti pohybuje a kdo je v klidu nelze říct a není možné to nijak zjistit. Lze jen tvrdit, že se obě soustavy pohybují relativně vůči sobě.

Tímto Einstein vyvrátil spekulace o tzv. éteru, který měl být jakousi absolutní vztažnou soustavou celého vesmíru a tím, čím se šíří světlo podobně jako zvuk vzduchem. Taková soustava podle teorie relativity neexistuje a nelze tvrdit, že cokoliv ve vesmíru by bylo v klidu a ostatní věci se pohybovaly vůči onomu něčemu. Ještě zopakujme, že toto platí pouze, pokud soustavy vůči sobě nezrychlují ani nezpomalují – jiným případem je např. zrychlující vlak, v němž cestující cítí sílu, která je tlačí do sedadel, kdežto lidé na nádraží ne - pak lze rozpoznat, že vlak je zrychlující soustava, nikoliv nádraží. Takovými případy se ale zabývá až obecná teorie relativity, nikoliv zde probíraná teorie speciální.

Klasická představa časoprostoru

Einstein nejenom že zničil veškeré spekulace o éteru, ale především změnil způsob, jakým se do té doby vnímal čas a prostor. Do té doby se věřilo, a většina lidí s touto myšlenkou klidně žije i dnes, že věci jako současnost dvou událostí, vzdálenost nebo rychlost plynutí času jsou absolutní. Tím se myslí, že všichni pozorovatelé, tzn. pozorovatelé v různých vztažných soustavách, se shodnou na tom, že se dvě události staly současně, že určitá věc měří přesně tolik a tolik metrů a že jejich hodinky jdou stejně rychle (ač se jedná o kvalitní hodinky a ne nějaké z tržnice). Zdá se to přirozené - proč by měly jít hodinky lidí ve vlaku jinou rychlostí než hodinky lidí na nádraží nebo proč by měli stejným pravítkem naměřit rozdílné rozměry určitého objektu? Pravdou je, že to tak z nějakého důvodu funguje, ale viditelně se tyto jevy dají pozorovat až při rychlostech blízkých rychlosti světla. Proto si jich pochopitelně nikdo za tisíce let nevšiml a tedy současnost, vzdálenost a čas se braly jako absolutní veličiny.

Newton stanovil v 17. století zákony mechaniky, které předpokládaly absolutní čas a prostor. Ve skutečnosti jsou však jeho zákony pouze aproximací teorie relativity pro případy nízkých rychlostí, v nichž se každodenně pohybujeme. Pro tyto případy jsou jeho rovnice dostatečně přesné a používají se dodnes, avšak např. systém GPS by na jejich základě již nefungoval dostatečně přesně a proto musel být navržen s ohledem na obecnou teorii relativity. Před Einsteinem tedy nikoho nenapadlo, že by zdánlivě absolutní veličiny jako např. čas mohli pozorovatelé pohybující se různě rychle vnímat odlišně.

Naopak veličina, která je, jak dnes víme, absolutní, a to rychlost světla, se považovala za relativní, stejně jako každá jiná rychlost, která se vždy musí vztahovat vůči něčemu, jak už jsme si řekli. Tento dřívější předpoklad by znamenal, že pokud by se někdo pohyboval opravdu velmi rychle, mohl by letět vedle světelného paprsku a vnímat jej, jako že je vůči němu v klidu. Experimenty však opakovaně prokazovaly, že rychlost světla je vždycky naměřena stejná a Einsteinova představivost tak pomalu začala spatřovat, že tisíci let zatvrzelé základní předpoklady o fungování světa potřebují trochu poupravit.

Relativistický pohled na věc

Albert Einstein vždy preferoval odvozování přírodních zákonů pomocí dedukce spíše než indukcí. Tím se míní, že stanovil základní postuláty neboli tvrzení, o nichž bez dokazování tvrdil, že jsou pravdivé, a z nich dále odvozoval jejich důsledky jen pomocí myšlenkových experimentů ve své hlavě. Krásným příkladem tohoto postupu je právě speciální teorie relativity, jež se dá odvodit z pouhých dvou postulátů:

druhý postulát

  1. Přírodní zákony (jejich rovnice) jsou stejné pro všechny pozorovatele, ať se nacházejí v jakékoliv inerciální vztažné soustavě. Toto se nazývá principem relativity a znamená to v podstatě to, co bylo zmíněno výše, tedy že u inerciálních (nezrychlujících) vztažných soustav nelze nijak rozlišit, kdo se pohybuje a kdo je v klidu.
  2. Rychlost světla ve vakuu, označovaná c, je vždy a pro všechny pozorovatele stejná a nezávisí na pohybu pozorovatele ani světelného zdroje (viz animace). Jinými slovy rychlost světla naměří každý pozorovatel vždycky stejnou, i když je např. jeden pozorovatel v klidu a druhý letí souběžně se světelným paprskem 99% rychlostí světla (plnou rychlostí světla, jak se ukáže dále, letět nemůže).

Druhý postulát se může zdát poněkud podivný - jak může světlo před pozorovateli utíkat stále stejnou rychlostí nezávisle na jejich pohybu? Je to tak, ale platí to pouze pro světlo a jiná elektromagnetická záření. Rychlost světla, označovaná c (přesně 299 792 458 m/s), je zároveň limitní rychlostí, kterou žádný hmotný objekt ve vesmíru nemůže nikdy překročit a dokonce jí ani plně dosáhnout, neboť, jak se ukázalo, hmotnost objektu mírně narůstá s jeho rychlostí a je potřeba dodávat stále vyšší energii k jeho dalšímu urychlení. K urychlení čehokoliv na rychlost světla bychom potřebovali nekonečné množství energie, které samozřejmě nikdy mít nebudeme. Rychleji než světlo se nemůže pohybovat ani účinek gravitace, zkrátka nic. Světlo, lépe řečeno jeho částice nazývané fotony, nemají v klidu žádnou hmotnost a proto se rychlostí světla pohybovat mohou, na druhou stranu nemůžou existovat v klidu a musí neustále létat, dokud do něčeho nevrazí a nepředají tomu svou energii, čímž zaniknou. Při pohybu již fotony určitou hmotnost mají, ale to je již na jiný článek. Důležité je si uvědomit, že žádná hmota ani informace se nemůže nikam dostat rychleji než světlo.

Ze dvou daných postulátů Einstein dále odvodil věci, které jsou jejich logickými, avšak pro obyčejné lidi často těžko přijatelnými konsekvencemi. V první řadě prohlásil, že pokud jeden pozorovatel sleduje nějaké dvě současné události, pak je pozorovatel pohybující se vůči němu jako současné nevnímá (jak ukazuje animace). Od tohoto závěru již nebylo daleko k tvrzení, že rovněž čas musí různí pozorovatelé vnímat obecně různě, neboť čas je v podstatě sled současných událostí.

relativita současnoti

Dilatace času

Ano, čas skutečně neplyne pro všechny stejně. Tomuto jevu se říká dilatace času. Pokud se vzhledem k vám někdo pohybuje určitou rychlostí, pak uvidíte (pokud to bude rychlost blízká rychlosti světla), že jeho čas plyne o něco pomaleji než ten váš a že vy tedy stárnete rychleji než on. Samozřejmě musí být zachována symetrie principu relativity, neboť ten člověk, jehož pozorujete, může tvrdit, že on je v klidu a vy se pohybujete, a on skutečně uvidí, že pro něj zase váš čas plyne pomaleji než ten jeho. Oba tedy uvidíte, že čas toho druhého plyne pomaleji - není to divné? Zde se dostáváme k otázce, která mi rovněž nedala několik dní spát. Co když se oba najednou vůči sobě zastaví a sejdou se třeba někde v kavárně, kdo z nich pak bude starší? V první řadě musíme říct, že zde přecházíme k určitému diskrétnímu zrychlení, neboť se vztažné soustavy obou lidí při setkání vzájemně zastaví (změní svou rychlost), takže bychom jej v rámci speciální relativity teoreticky nemuseli řešit. Mě ale opravdu zajímalo, jak by takový případ dopadl, a proto jsem si to zjistil - jde o tzv. paradox dvojčat a dostanu se k němu na závěr.

Nyní bych ale rád prezentoval něco, co mi pomohlo tyto podivné situace s rozdílným vnímáním času pochopit a analyzovat. Jde o tzv. Lorentzovy transformace, které jsou matematickým nástrojem pro převod souřadnic (většinou pochopitelně tří prostorových a jedné časové) z jedné inerciální vztažné soustavy do jiné tak, jak to popisuje speciální relativita. Pro nás naštěstí není potřeba nic počítat, stačí se podívat na animaci porovnávající klasickou představu časoprostoru s relativistickým popisem, tedy popisem pomocí Lorentzových transformací. Tečky na čarách znázorňují tikání stejných hodinek každého z pozorovatelů (tzn. periodické události). Animace se opakovaně přesouvá mezi vztažnými soustavami pozorovatelů A a B, takže můžete vidět rozdíl v obou transformacích.

relativita současnoti

Všimněte si, že v klasickém Newtonovském případě se linie současných událostí (červená a růžová čára) obou pozorovatelů překrývají - čas je pro oba pozorovatele stejný a tikání jejich hodinek je současné, ať případ sledujeme z pohledu (vztažné soustavy) kteréhokoliv z nich - čas je absolutní. V případě relativity však linie současných událostí pozorovatelů nejsou shodné - jsou vzájemně jaksi "našikmo" a při přechodu do soustavy druhého pozorovatele se vždy události (tikání hodin) toho prvního "protáhnou", čímž je možné, že oba vnímají čas toho druhého pomaleji. Důležité také je, že Lorentzovy transformace zachovávají rychlost světla - šedé čáry zůstávají z pohledu obou pozorovatelů stále stejné, tzn. rychlost světla se z pohledu různých pozorovatelů nemění, kdežto v Newtonovské fyzice podléhají šedé čáry transformaci jako všechny ostatní. Pomoci k pochopení vám rovněž může i toto video na Youtube.

Kontrakce délek

Podobně jako dilataci času můžeme pozorovat i další jev, který je nevyhnutelným důsledkem relativity - kontrakci délek. Pohybující se objekt se se zvyšující se rychlostí z našeho pohledu zkracuje. Opět si to představme s vlakem a nádražím. Cestující ve vlaku uvidí nádraží mírně smrštěné ve směru jeho relativního pohybu vzhledem k nim, zatímco lidé na nádraží zase zpozorují, že vlak vlak i s lidmi uvnitř je kratší. Znovu to můžeme pozorovat na animaci znázorňující řekněme dvě tyče pohybující se vůči sobě. Musíme si uvědomit, že délka tyče je vlastně rozdíl poloh obou jejích konců, které se v jeden současný okamžik nachází v určitých místech – současnost je ale, jak už víme, relativní v závislosti na vztažné soustavě. V případě relativity vlivem Lorentzových transformací tak nevyhnutelně dochází při přechodu mezi soustavami obou tyčí ke změně jejich délek, zatímco v klasické fyzice ne.

kontrakce délek

Na dalším obrázku je zajímavý případ, kdy máme jednu tyč, která je vůči nám v klidu a následně se začne pohybovat. Řekněme, že tyč někdo začne v určitém okamžiku naší vztažné soustavy posunovat tlakem na její levý konec směrem doprava. Jak vidíme, v klasické fyzice se oba konce tyče začnou pohybovat současně a její délka (znázorněná modře) zůstává z našeho pohledu stejná jak v klidu, tak i v pohybu. V relativitě ale pozorujeme, že se jednak délka tyče v naší vztažné soustavě zmenší, zatímco v soustavě tyče zůstane stejná (opět znázorněna modře). Je to způsobeno tím, že po začátku posunování levého kraje tyče chvíli trvá, než se začne pohybovat i pravý konec - tyč je jakoby pružná. To je důležité, neboť kdyby byla tyč pevná, jako v klasické fyzice, bylo by možné přenášet informaci rychleji než světlo tím, že bychom měli dlouhou tyč a posunutím jejího jednoho konce by se okamžitě posunul i konec na její druhé straně, informace o posunu tyče by tedy dorazila na její druhý konec okamžitě a tudíž rychleji než světlo, což není možné. Ve speciální relativitě je v důsledku této úvahy vše pružné stejně jako zde zmíněná tyč.

kontrakce délek 2

E = mc^2^

Tato celebrita mezi rovnicemi představuje asi nejznámější vzorec světa, jenž vzešel opět ze speciální relativity. O jeho odvození se zde snažit nebudu, ale význam rovnice je poměrně zřejmý. V podstatě stanovuje ekvivalenci mezi hmotou a energií - jde víceméně o jednu a tu samou věc. Jakýkoliv hmotný objekt tedy lze určitými způsoby převést na energii, přičemž pokud bychom to bezezbytku dokázali, získali bychom jí ohromné množství, neboť, jak vidíme, se toto množství spočítá jako součin hmotnosti objektu a druhé mocniny rychlosti světla, což je samo o sobě obrovské číslo. Problém je, že stoprocentní přeměnu hmoty zatím nedokážeme provést a např. v jaderných elektrárnách zůstává naprostá většina energie ve formě jaderného odpadu. Úplná přeměna hmoty na energii je možná např. v případě její reakce s antihmotou, kterou ale vědci dokáží vytvořit opět jen v nesmírně malém množství.

Paradox dvojčat

A teď slíbený bonus na závěr - paradox dvojčat je zdánlivý paradox zrozený z relativity, který nastane, když jedno ze dvou (pochopitelně) stejně starých dvojčat zůstane na Zemi a druhé odcestuje do vesmíru rychlostí blízkou rychlosti světla, v určitém bodě se otočí, vrátí se zpět na Zemi a nalezne svého sourozence staršího. Nabízí se otázka, proč je dvojče, které zůstalo na Zemi starší, když je pohyb ve skutečnosti relativní a není tudíž možné říct, kdo vlastně cestoval vůči komu. V čem je dvojče na Zemi speciální a má tu smůlu, že zrovna ono zestárlo víc? Není zde porušena určitá symetrie, když si vlastně můžeme představit, že dvojče na Zemi cestovalo vůči svému sourozenci?

paradox dvojčat

Symetrie ve skutečnosti porušena není a to díky tomu, že dvojče v kosmické lodi se muselo zastavit, změnit směr a vrátit se zpátky. Tím pádem přestoupilo z jedné vztažné soustavy do druhé (pohybující se opačným směrem) - pocítilo tak změnu rychlosti, kdežto dvojče na Zemi je stále ve své soustavě, žádné zrychlení nepociťuje, ať případ sledujeme z pohledu kteréhokoliv dvojčete. Díky tomu můžeme říct, které dvojče odcestovalo a které ne. Všechno je doufám jasné z obrázku - modrá čára je oproti červené vždy "zalomená" v okamžiku změny rychlosti. Vidíme, že dvojče A zaznamenalo více tiků hodinek než dvojče B a je proto při setkání starší.

Závěrem

Tak to je prozatím všechno. Snad se mi zde podařilo určitým způsobem vystihnout jádro problému speciální teorie relativity. Podstatné důsledky jsou ty, že při vysokých rychlostech nemůžeme časoprostor vnímat tak, jak jej popsal Newton, avšak pro běžné případy jeho rovnice můžeme s klidem a bez obav používat dál. Velmi podstatné je si odnést informaci o tom, že rychleji než světlo se nic nikam nedostane, takže se můžeme vzdát naděje, že ještě za našeho života doletíme k nějaké planetě mimo naši Sluneční soustavu. Snad budu moct jednoho dne napsat podobný článek i o obecné relativitě, pokud ji kdy dostatečně pochopím :)