Grupy pásových symetrií

Mon 29 August 2016
tastyfish
tagy: graphics math
překlady: en (google)

Ve výtvarné informatice jsme kdysi letmo probírali grupy symetrií v rovině - zajímavé učivo, ale v té rychlosti jsem pobral jenom to, že se dají symetrické mozaikové vzory nějak popisovat pomocí grup. Jak ale tyto grupy vypadají, co představují jejich prvky a co reprezentuje jejich operace, to jsem nevěděl. Chtěl jsem se to někdy doučit, a to někdy nastalo teď. V tomto článku proberu jednoduchou formu dláždění, z níž se dá snadno pochopit princip složitějších dláždění.

Předpokládám, že čtenář zná pojem grupy. Jenom pro zopakování: grupa je matematická struktura (konkrétně algebra), která se skládá z množiny nějakých prvků a má jednu operaci, kterou zde budeme označovat prostě +. Aby se jednalo o grupu, musí tato struktura splňovat určité podmínky: uzavřenost (operace + nám nikdy nedá prvek, který není v grupě), asociativitu (nepotřebujeme závorky), musí v ní existovat neutrální prvek a ke každému prvku musí existovat tzv. inverzní prvek. Grupy jsou v matematice dobře prozkoumané, známe o nich spoustu fakt a můžeme je použít k popisu různých symetrických věcí z reálného života, např. Rubikovy kostky.

Budeme se zaobírat tzv. pásovým dlážděním (line groups, frieze groups). U tohoto dláždění máme 2D vzor, který se ale opakuje jen v horizontálním směru, např. takto:

real life

Intuitivně vidíme, že tento vzor v sobě má něco symetrického. Naším úkolem je nyní toto intuitivní tušení vyjádřit matematicky. Abychom to však mohli udělat, musíme nejdřív, jako všechno v matematice, pojem symetrie přesně definovat.

Vezměme si příklad z reálného života - když řekneme, že tvář modelky je symetrická, máme vlastně na mysli následující: Kdybychom její tvář zrcadlově překlopili, vypadala by pořád stejně. Právě tato "odolnost" tváře vůči operaci zrcadlení je to, co nazýváme symetrií. Podle použité operace můžeme mít symetrií spoustu, např. čtverec je symetrický vůči otočení o 90 stupňů, neboť po této transformaci zůstává pořád stejný. Definujme si tedy symetrii.

Symetrie vzoru vzhledem k nějaké transformaci je vlastnost vzoru zůstat stejným po provedení této transformace.

Při hledání symetrií pásu nás budou tedy zajímat prostorové transformace, po jejichž provedení se vzor pásu nezmění. Potenciálně mezi tyto operace může patřit (předpokládejme, že pás je nekonečně dlouhý na obě strany a nezajímá nás, jak se mění jeho "konce"):

Existují další transformace, které jsou však buď složením našich základních transformací (např. otočení o 180° = horizontální + vertikální překlopení) nebo je nebereme jako základní geometrické operace (např. nakreslení tučňáka na vzor, nebo co já vím :)). Proto nechť nás zajímají jen výše uvedené tři základní transformace: P, V a H.

Teď už se tedy konečně pojďme podívat na to, jak to s těmi pásovými symetriemi je. Pásových vzorů existuje samozřejmě nekonečně mnoho - každá šikovná babička vám dokáže uplést nespočet šál, každou s jiným motivem, s jinými barvami apod. Nezapomeňme ale, že nás nezajímají přímo vzory, ale symetrie, tedy jakési typy vzorů. A těch je, jak bylo dokázáno, pro pásové vzory pouze 7. Jsou následující:

číslo symetrie příklad odborná označení
1 P example1 p1
2 P, P+V example2 p11g
3 P, H example3 p1m1
4 P, V+H example4 p2
5 P, H, V+H, P+V example5 p2mg
6 P, V example6 p11m
7 P, V, H example7 p2mm

Takže např. symetrie č. 2 má dvě symetrie (vůči posunu a vůči posunu plus vertikálnímu překlopení, což se také nazývá gliding reflection):

animaion

Zkuste si ověřit, že všechny zbývající vzorové příklady vykazují uvedené symetrie (a popřípadě napište, že jsem udělal chybu :D).

Co mají ale s tímhle vším společného grupy? Vezmeme-li totiž naše základní transformace (P,V,H) jako množinu a skládání transformací (tj. +) jako operaci, dostaneme grupu pro každou ze sedmi uvedených symetrií. Můžeme si např. nakreslit graf prvků grupy symetrie č.1:

g1

Vidíme, že platí všechno, co v grupě platit má - máme zde neutrální prvek (P), který když složíme (pomocí +) s jakýmkoliv prvkem, dostaneme vždy ten samý prvek. Každý prvek má svůj opačný prvek, tedy prvek, který když s ním složíme, dostaneme neutrální prvek (P) - v tomto případě je každý prvek zároveň svým inverzním prvkem. Můžete si ověřit zbytek požadavků pro grupu (a také např. zjistit, zda jde o abelovskou grupu).

Grupy ostatních symetrií budou vypadat podobně, ale budou se vždycky něčím lišit - např. počtem prvků, výsledky operace skládání (tedy šipkami v grafu) apod. Zkuste si některé grafy nakreslit. Důležité je, že za daných podmínek (při pásové symetrii a při povolených transformacích P, V a H) existuje přesně 7 grup symetrií, ačkoliv samotných dláždění existuje nekonečně mnoho.

Toto je tedy popis pásových symetrií pomocí grup. Obdobně se dají popsat obecnější dláždění, např. rovinná, která vidíme třeba na stěnách koupelen, na kobercích nebo tapetách. Ta mají celkem 17 grup symetrií, k nimž se snad někdy dostanu v dalším článku. Zajímavá jsou rovněž různá označování těchto symetrií podle oboru, v jehož kontextu je zmiňujeme. Pokud vás téma zaujalo, určitě zavítejte na Wikipedii, která o dláždění nabízí spoustu kvalitních článků.