Fraktály - krása matematiky

Sun 20 May 2012
tastyfish
tagy: math
překlady: en (google)

Je škoda, že osnovy matematiky pro střední školy nezahrnují alespoň letmo fraktály, neboť by matematika určitě zaujala mnohem víc lidí než za současné situace. Bohužel averze většiny lidí k matematice přetrvává a pramení ze zažité představy tohoto oboru jako množiny nezajímavých vzorců, které se učí ve školách. Tímto článkem bych chtěl čistě neformálně a velmi stručně nastínit koncept fraktálů, jednoho z nejkrásnějších objevů matematiky.

Co jsou fraktály?

Fraktál je neformálně řečeno velmi složitý geometrický objekt, který se donekonečna opakuje v sobě samém. Můžeme si jej libovolně přibližovat a stále budeme objevovat stejné nebo podobné tvary. Zajímavé na fraktálech je, že je má velice v oblibě příroda a důvod je nejspíš především jeden: ačkoliv se jedná o nesmírně složité objekty, dají se popsat velmi jednoduše, nejčastěji jedním jednoduchým vzorcem nebo jen pár triviálními pravidly! V DNA organismu tedy stačí zakódovat jednoduchou sekvenci, aby vznikl například celý složitý strom, jehož větve se samy podobají menším stromům, nebo třeba náš cévní systém. Fraktály v přírodě ale nalezneme i mezi neživými věcmi, jako jsou například sněhové vločky.

fraktály

Vločka (Kochova křivka)

Když už jsme u vloček, uvedu příklad jednoduchého fraktálu na začátek. K jeho pochopení není třeba umět počítat s čísly a už vůbec ne vědět něco víc o matematice. Navzdory tomuto faktu se jedná o nádherný a složitý objekt. Naše vločka se skládá ze čtyř částí, z nichž každou sestrojíme takto:

  1. nakreslíme úsečku
  2. veprostřed ji umažeme a uděláme „stříšku“, tento krok opakujeme do nekonečna pro každou nově vzniklou úsečku (v praxi dokud nás to nepřestane bavit ^^)

Kochova křivka

Myslím, že výsledek je více než působivý a proto snad stojí za to číst dál :)

Mandelbrotova množina (trochu silnější káva)

Mandelbrotova množina

Když jsem se poprvé o fraktálech dozvěděl někdy na střední škole, jako první jsem se setkal s Mandelbrotovou množinou, protože je to asi nejčastěji uváděný příklad fraktálu. Není divu, jde totiž o jeden z nejkrásnějších fraktálů vůbec, obzvlášť když si přiblížíte některé jeho části. Můžete si to ostatně sami zkusit ve webové aplikaci.

Pochopení popisu tohoto fraktálu už ale není zadarmo a vyžaduje trochu rozumět komplexním číslům, kterým se slušní lidé často vyhýbají (já především proto, že mi připomínají elektroniku a teorii obvodů \^\^). Tady ale nejsme na zkoušce z matematiky, nýbrž se chceme dozvědět něco o tomto krásném díle přírody, tak se na to pojďme s odvahou podívat. Zkusím to podat, jak nejjednodušeji to jde.

Především se nabízí otázka, co to Mandelbrotova množina přesně je. Je to množina komplexních čísel. Komplexní číslo, jak si snad většina lidí vybaví, se skládá ze dvou složek a proto se dá interpretovat jako bod ve dvourozměrném prostoru (dvě složky odpovídají dvěma souřadnicím x a y). Celý obrazec Mandelbrotovy množiny by tedy měl být jenom černobílý (nebo spíše dvoubarevný) - černé body do množiny patří, bíle nikoliv. Bodů v množině je samozřejmě nekonečně (a nespočetně) mnoho. Kde se ale berou ty pěkné barvičky na obrázku? To se dozvíme za chvíli.

Vycházejme tedy z faktu, že každý bod ve dvourozměrné (komplexní) rovině buď do množiny patří nebo ne. Co nám ale řekne, které body jsou v množině a které mimo? Je to jednoduchá matematická posloupnost:


Z~0~ = 0, Z~n+1~ = Z~n~^2^ + c

Vzorce můžou někoho vystrašit, ale pochopení těchto dvou jednoduchých rovnic nám udělá hned ve všem naprosto jasno, což si myslím, že za cenu malého zamyšlení je více než dobrá odměna. Symbol c v zápisu je komplexní číslo, které ověřujeme, tedy bod, u kterého zjišťujeme, zda patří či nepatří do množiny. Z~n~ znamená ntý člen této posloupnosti. Rovnice tedy říkají, že prvním členem posloupnosti je 0 a každý další člen dostaneme tak, že ten, který zrovna máme, umocníme na druhou a přičteme k němu naše ověřované číslo (bod) c. Toto opakujeme (teoreticky) do nekonečna. Samotné rozhodnutí o náležitosti čísla (bodu) c do množiny závisí na tom, jestli nám jako poslední člen vyjde nekonečno, v kterémžto případě bod do množiny nepatří, či nikoliv, což je kladný případ náležitosti do množiny. Dá se dokázat, že celá Mandelbrotova množina leží uprostřed kružnice o poloměru 2 a středem v počátku souřadnic, proto nám stačí brát body z této oblasti, dosazovat je do rovnice za číslo c a podle toho kreslit množinu.

Zbývá ale vysvětlit, jak máme body ověřovat, když pro každý je potřeba udělat nekonečný počet kroků výpočtu za účelem zjištění posledního členu posloupnosti. To samozřejmě v praxi není možné a proto počítač, který provádí výpočet pro každý bod, udělá jenom předem stanovený počet kroků, tzv. iterací. Pokud po daném počtu iterací nevyjde nekonečno, předpokládá se náležitost bodu do množiny, což je sice pravděpodobné ale nikoliv jisté. Čím více iterací počítač dělá, tím je větší šance, že správně určí náležitost bodu do množiny, a to je právě to, odkud se berou ty pěkně barevné obrázky. V těch jsou totiž různými barvami zakreslené různé výsledky výpočtu množiny s různou přesností, tzn. s různě velkým počtem iterací. Začne se tedy s počtem iterací 1 a světlou barvou, postupně se iterace zvyšují a barva např. ztmavuje, což vytvoří krásný přechod v obrázku.

Tak a to je všechno na úvod k Mandelbrotově množině a vůbec k fraktálům :) Okolo fraktálů samozřejmě existuje spousta složité matematiky a všechno sahá mnohem hlouběji než jenom k vizuálně pěkným věcem, ale to všechno ostatní s radostí přenechávám studentům matfyzu. Doufám, že tento článek matematice alespoň trochu pomůže napravit její pověst :)